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【概率】怎样证明独立/互斥事件
1、互斥事件是指若A1，A2，A3，……An这些事件互斥，则其中任何一个发生了，其它的事件都不会发生。证明独立性，就是用你说的P(A∩B)=P(A)P(B)式子来证，即如果P(A∩B)=P(A)P(B)成立，那么A与B相互独立；如果P(A∩B)=P(A)P(B)不成立，则A与B不相互独立。
2、计算它们的协方[文]差，并检查协方差是[章]否等于0。如果协方[来]差为0，则x和y是[自]不相关的，但不一定[Z]是相互独立的。如果[B]协方差不为0，则x[L]和y不是相互独立的[O]。可以使用条件概率[G]来判断两个随机变量[文]是否相互独立。如果[章]P（x|y）=P（[来]x），则x和y是相[自]互独立的。这意味着[Z]y的值不会影响x发[B]生的概率。
3、事件A和B的交[L]集为空，A与B就是[O]互斥事件，也叫互不[G]相容事件。
4、不一定。如；设[文]事件A.B都是概率[章]不为0的事件，且两[来]个事件互斥，则p([自]AB)=0；若事件[Z]A，B是独立的，则[B]P(AB)=P(A[L])P(B)，但已知[O]事件A，B都是概率[G]不为0的事件 ，所以P(A)P([文]B)不等于0，则P[章](AB)=P(A)[来]P(B)是不成立的[自]；若事件为不可能事[Z]件，则可以既相互独[B]立又能互斥。
5、事件的独立和事[L]件的互斥：通俗的讲[O]，两个事件的独立就[G]是这两个事件发生与[文]否互相不影响，比如[章]：投掷骰子两次，第[来]一次的结果与第二次[自]的结果互不影响，把[Z]这两次投骰子看作两[B]次事件，那么也就是[L]说这两次事件独立。[O]
6、则有概率加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)，即A并B等于A+B。若A与B不为互斥事件 ，则有公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)，则A并B不等于A+B。若A与B为相互独立事件 ，因相互独立事件是特殊的互斥事件，则有概率乘法公式P(AB)=p(A)P(B)，所以A并B等于A+B。
独立事件怎么判断
1、条件概率：如果在事件B发生的前提下，事件A的概率等于事件A和事件B同时发生的概率与事件B的概率之比，则事件A和事件B是相互独立的。实践模拟：通过实际模拟或实验，观测两个事件之间的关系，如有关联则说明它们不相互独立。
2、独立事件：事件[G]B发生或不发生对事[文]件A不产生影响，就[章]说事件A与事件B之[来]间存在某种“独立性[自]”，其对象可以是多[Z]个。事件A和B的交[B]集为空，A与B就是[L]互斥事件，也叫互不[O]相容事件。
3、独立事件怎么判[G]断如下：独立事件是[文]指两个或多个事件之[章]间没有相互影响或相[来]互依赖的关系，即这[自]些事件的发生是各自[Z]独立的。判断两个事[B]件是否为独立事件，[L]需要满足以下两个条[O]件：每个事件的发生[G]不受其他事件的影响[文]。即，事件A的发生[章]不会影响事件B的发[来]生，反之亦然。每个[自]事件的概率不受其他[Z]事件的影响。
4、事件A不影响事件B的发生，称这两个事件独立，记为P(AB)=P(A)P(B)。所谓独立事件就是某事件发生的概率与其它任何事件都无关，用集合的概念解释即集合之内所有事件发生的可能性范围互不相交。设A，B是两事件，如果满足等式P(A∩B)=P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A，B相互独立，简称A，B独立。
独立事件为什么有交集呢
独立事件是指发生的两个事件之间没有任何关联。意思是说，一个事件的发生不会影响到另一个事件的发生。换句话说，两个事件是彼此独立的。虽然这些事件之间也有交集的可能，但是交集不表示这些事件之间有任何因果关系。举个例子，假设你有两个骰子，你掷第一个骰子，结果为4。
相互独立有交集。相互独立的事件是指它们发生的概率互不影响，即一个事件发生与否不影响另一个事件发生的概率。没有交集指的是不能同时发生，独立的事件是可以同时发生的。
A、B是独立事件，[B]说明A的发生与否，[L]不影响B发生的概率[O]；B的发生与否，不[G]影响A发生的概率。[文]所以除非A、B至少[章]有一个是不可能事件[来]。否则两个独立事件[自]必然有可能同时发生[Z]。所以对于两个独立[B]的，且各自都是有可[L]能发生的事件（不是[O]不可能事件），必然[G]交集不是空集。不要[文]把独立事件和不相容[章]事件搞混淆了。
事件A和事件B相互[来]独立，那么事件A和[自]事件B之间可能存在[Z]交集，同时也可以不[B]存在交集，对于事件[L]P(A)和P(B)[O]不为1也不为0 那么独立的A和B一[G]定有交集。如果一个[文]为全集一个为空集，[章]那么两者就不存在交[来]集。
相互独立事件（independentevents)：事件a（或b）是否发生对事件b（a）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。设A，B是试验E的两个事件，若P(A)0，可以定义P(B∣A)，一般A的发生对B发生的概率是有影响的，所以条件概率P(B∣A)≠P(B)。
什么是独立事件?
独立事件：事件B发生或不发生对事件A不产生影响，就说事件A与事件B之间存在某种“独立性”，其对象可以是多个。事件A和B的交集为空，A与B就是互斥事件，也叫互不相容事件。
事件A不影响事件B[自]发生，称这两个事件[Z]独立，记为P(AB[B])=P(A)P(B[L])。所谓独立事件就[O]是某事件发生的概率[G]与其它任何事件都无[文]关，用集合的概念解[章]释即集合之内所有事[来]件发生的可能性范围[自]互不相交。设A，B[Z]是两事件，满足等式[B]P(A∩B)=P([L]AB)=P(A)P[O](B)，则称事件A[G]，B相互独立，简称[文]A，B独立。
在概率论里，说两个[章]事件是独立的，直觉[来]上是指：在一次实验[自]中，一个事件的发生[Z]不会影响到另一个事[B]件发生的概率。如“[L]”第一次掷硬币国向[O]上”和“”第二次投[G]掷硬币国徽向上”的[文]事件是相互独立的。[章]
独立事件：事件B发生或不发生对事件A不产生影响，就说事件A与事件B之间存在某种“独立性”，其对象可以是多个。互斥事件：事件A和B的交集为空，A与B就是互斥事件，也叫互不相容事件。也可叙述为：不可能同时发生的事件。
什么是互斥事件和独立事件?
事件A和B的交集为空，A与B就是互斥事件，也叫互不相容事件。
两个事件互斥是指两[来]个事件不可能同时发[自]生，两个事相互独立[Z]是指一个事件的发生[B]与否对另一个事件发[L]生的概率没有影响。[O]它们虽然都描绘了两[G]个事件间的关系，但[文]所描绘的关系是根本[章]不同的。
互斥事件与对立事件[来]两者的联系在于：对[自]立事件属于一种特殊[Z]的互斥事件。它们的[B]区别可以通过定义看[L]出来：一个事件本身[O]与其对立事件的并集[G]等于总的样本空间；[文]而若两个事件互为互[章]斥事件，表明一者发[来]生则另一者必然不发[自]生，但不强调它们的[Z]并集是整个样本空间[B]。即对立必然互斥，[L]互斥不一定会对立。[O]
互斥事件是针对能不[G]能同时发生，即两个[文]互斥事件是指两者不[章]可能同时发生。独立[来]事件是针对有没有影[自]响，即两个相互独立[Z]事件是指一个事件发[B]生对另一 个事件发生的概率没[L]有影响（注意：不是[O]一个事件发生对另一[G] 个事件发生没有影响[文]）。试验的次数不同[章] 互斥事件是一次试验[来]下出现的不同事件。[自]
相互独立事件（in[Z]dependent[B] events)：事[L]件A（或B）是否发[O]生对事件B（A）发[G]生的概率没有影响，[文]这样的两个事件叫做[章]相互独立事件。相互[来]独立事件同时发生的[自]概率P(A*B)=[Z]P(A)P(B)若[B]A与B互斥，事件A[L]和B的交集为空，A[O]与B就是互斥事件，[G]也叫互不相容事件。[文]也可叙述为：不可能[章]同时发生的事件。
独立地，事件A是否与事件B同时发生关系。互斥是指事件A发生，事件B不会发生。这是“相关”的。独立意味着同时发生AB事件的概率可以计算为： P(AB)=P(A)P(B)，互斥表示同时发生AB事件的概率。概率为0： P(AB)=0。
独立事件和互斥事件有什么联系和区别?
区别：含义不同：发生了a就不会发生b，发生了b就不会发生a，它们两个是互斥的。发生a和发生b没有任何关系，可能都发生，也可能都不发生，也可能只发生一个，就是相互独立事件。
独立事件与互斥事件[来]的区别是相互独立事[自]件之间的发生互不影[Z]响，但可能会同时发[B]生，互斥事件是不可[L]能同时发生的事件，[O]即交集为零，但可能[G]会产生相互影响，两[文]者的联系是相互独立[章]事件可能是互斥事件[来]也可能不是互斥事件[自]，而互斥事件一定不[Z]是独立事件。互斥事[B]件（exclusi[L]ve event），指的[O]是不可能同时发生的[G]两个事件。
第一 ，针对的角度不同．[文]前者是针对能不能同[章]时发生 ，即两个互斥事件是[来]指两者不可能同时发[自]生 ；后者是针对有没有[Z]影响，即两个相互独[B]立事件是指一个事件[L]发生对另一个事件发[O]生的概率没有影响([G]注意：不是一个事件[文]发生对另一个事件发[章]生没有影响 )。第二，试验的次[来]数不同。
独立是说事件A发生[自]跟事件B发生没关系[Z]。而互斥表示事件A[B]发生的话，事件B就[L]不会发生。这就是“[O]有关系”。独立意味[G]着AB事件同时发生[文]的概率可以计算：P[章](AB)=P(A)[来]P(B)，而互斥意[自]味着AB时间同时发[Z]生的概率为0：P([B]AB)=0。
独立事件和互斥事件[L]的逻辑关系：独立事[O]件和互斥事件两者的[G]联系在于，对立事件[文]属于一种特殊的互斥[章]事件。它们的区别可[来]以通过定义看出来。[自]一个事件本身与其对[Z]立事件的并集等于总[B]的样本空间。而若两[L]个事件互为互斥事件[O]，表明一者发生则另[G]一者必然不发生，但[文]不强调它们的并集是[章]整个样本空间。
独立事件与互斥事件的区别是针对的角度不同，概率公式不同。独立事件与互斥事件的联系是互斥事件是事件A与B不同时发生。相互独立事件的意思是A的发生与否与B毫无关系。同样的，B的发生与否不影响A的发生。针对的角度不同。
